Билет на экзамене
Представим себе экзаменационный билет на каком-нибудь ЕГЭ, или вопрос в каком-нибудь тесте для проверки знаний отвечающего. Обычно там бывает какой-нибудь вопрос и даётся несколько вариантов возможных ответов. Из этих вариантов нужно выбрать один правильный ответ.
Например, допустим варианты ответов такие:
- 4π кв.см
- 8π кв.см
- 16 кв.см
- 16π кв.см
- 32π кв.см
А теперь вопрос: Какой из этих вариантов ответов является правильным ответом?
Не надо смотреть в начало этой статьи и искать там тот вопрос, на который приведены эти 5 вариантов ответов. Вы ничего не пропустили. Вопрос Вам неизвестен. Известны только варианты ответов на него. Из этих вариантов ответов надо выбрать один правильный ответ.
Возможно ли это
Давайте подумаем, можно ли найти правильный ответ на вопрос, если вопрос неизвестен, а известны только несколько вариантов ответа на него. Причём правильный ответ только один и он присутствует среди всех представленных вариантов.
На первый взгляд кажется, что здесь предлагается задача, которая не имеет однозначного решения. Можно ведь специально для каждого из этих вариантов придумать такой вопрос, чтобы стал правильным заранее выбранный вариант ответа.
Например, я хочу, чтобы правильным ответом был ответ номер II. И специально для этого я придумываю такой вопрос: Сколько будет, если от 10π кв.см отнять 2π кв.см?
Правильным ответом на такой вопрос как раз и будет ответ номер II.
А если я хочу, чтобы правильным ответом был, например, ответ номер V, тогда можно предположить, что вопрос будет таким: Сколько будет, если 32 см умножить на π см?
И тем не менее, здесь с большой долей вероятности можно среди этих вариантов выбрать правильный вариант, не зная вопроса.
Это экзаменационный тест!
Разгадка кроется в том, что это экзаменационный тест. Значит, чтобы узнать правильный ответ, надо поставить себя на место составителя этого теста. Надо думать и рассуждать, как тот человек, который придумал проверочный вопрос и варианты ответов на него.
Задачей такого человека является с помощью теста разделить экзаменуемых на тех, кто знает материал, и тех, кто не знает. При этом должны быть отсеяны и те, кто даёт неправильные ответы, и те, кто даёт случайные ответы. Дело в том, что если давать случайные ответы, то иногда чисто случайно экзаменуемый будет выбирать правильные ответы.
Маленькая вероятность случайного угадывания
В задачу того человека, который составляет такие тесты, входит задача, чтобы правильный ответ сразу не бросался в глаза и никак не выделялся на фоне других ответов. Это уменьшает случайную вероятность угадывания правильного ответа.
Представьте себе такой вопрос: Кто написал поэму "Евгений Онегин"? И допустим такие варианты ответов:
- Часы
- Лампа
- Бумага
- Александр Сергеевич Пушкин
- Чернила
Человек, который никогда ничего не слышал про Пушкина и Евгения Онегина, сразу угадает правильный ответ. Вероятность такого угадывания будет очень близкой к 100%.
А если варианты ответов будут такими:
- Толстой
- Часы
- Тургенев
- Пушкин
- Гоголь
Вот теперь для человека, который никогда ничего не слышал про Пушкина и Евгения Онегина, вероятность случайно угадать правильный ответ будет только 25%. А для особо глупого человека эта вероятность будет даже 20%.
Значит, в нашем примере правильный ответ должен быть среди похожих ответов, а не среди ответа, который как-то выделяется на фоне других.
Единственный ответ, который выделяется на фоне других ответов, это ответ номер III. 16 кв.см. В этом ответе отсутствует константа π. Во всех других ответах присутствует число π.
Поэтому делаем вывод, что ответ номер III является неправильным. Правильный ответ где-то среди оставшихся четырех ответов, в которых присутствует число π.
Быстрота ответа
Человек, который составляет такие тесты, стремится к тому, чтобы экзаменуемые быстро давали ответы на вопросы, если они знают правильные ответы. В задачу составителя тестов не входит, чтобы экзаменуемые тратили много времени на рутинную работу.
Например, не нужно, чтобы сдающий тест долго что-то вычислял на бумаге в столбик или на калькуляторе. Логично, что там, где в ответах присутствует число π и квадратные сантиметры, там уже у экзаменуемых не проверяют, как они умеют применять арифметические операции к обычным числам.
Если внимательно посмотреть на оставшиеся варианты ответов, то можно заметить, что все эти ответы даны в квадратных сантиметрах. Логично предположить, что с очень большой вероятностью для нахождения правильного ответа тестируемые люди должны что-то возводить в квадрат.
Среди чисел 4, 8, 16 и 32 квадратами целых чисел являются только 4 и 16. Другие два числа 8 и 32 являются квадратами иррациональных чисел с бесконечным числом знаков после запятой. Исходя из принципа быстроты ответа, можно предположить, что в тесте проверяется не умение экзаменуемых перемножать иррациональные числа и округлять результат. Ведь тогда непонятно, зачем в ответах фигурирует число π. Скорее всего, проверяется знание какой-то формулы, в которой присутствует число π. И проверяется умение пользоваться этой формулой.
Поэтому правильный ответ находится среди тех двух ответов, где находятся квадраты целых чисел, так как экзаменуемые быстро могут вычислить квадрат целого числа и без всяких округлений. Итак, правильный ответ, это или ответ номер I. 4π кв.см или ответ номер IV. 16π кв.см.
Неправильные рассуждения приводят к правильному ответу
Правильные рассуждения всегда приводят только к правильному ответу. Правильные рассуждения не могут привести к неправильному ответу.
А вот неправильные рассуждения могут привести и к неправильному ответу и к правильному ответу тоже. Об этом хорошо знают все составители подобных тестов.
Для составителя таких тестов нет ничего хуже, чем такая ситуация, когда к правильному ответу могут привести неправильные рассуждения экзаменуемого. Эта ситуация может привести к тому, что к людям, прошедшим тест, могут попасть люди, которые не разбираются в проверяемой теме.
Посмотрим внимательно на ответы номер I и IV. Что они напоминают?
Эти ответы напоминают проверку знания формулы площади круга: πr2. (Возможно, это не так, но никакой другой рабочей гипотезы у меня пока нет.) А с чем, обычно, экзаменуемые чаще всего путают формулу площади круга?
Чаще всего формулу площади круга путают с формулой длины окружности: 2πr. Значит, если верна наша гипотеза о том, что в тесте проверяется знание формулы площади круга, то составителю теста нужно отсеять тех людей, которые путают формулу площади круга с формулой длины окружности. Такие люди не должны пройти тест.
Какой из двух оставшихся вариантов ответов не отделяет тех людей, которые знают формулу площади круга, от тех людей, которые путают эту формулу с формулой длины окружности? Это тот ответ, который одновременно получат обе эти категории людей. Это ответ номер I. 4π кв.см.
В самом деле, если радиус круга равен r=2, то обе формулы дают ответ 4π. Люди, не разбирающиеся в таких формулах, естественно, не сообразят, что радиус r в первой степени никак не может привести к квадратным сантиметрам. Иначе они сообразят, что пользуются неправильной формулой, что в правильной формуле должен стоять квадрат радиуса r2.
Правильный ответ
Итак, получается, что правильным ответом может быть только вариант IV. 16π кв.см.
Правда, это сделано в предположении, что был вопрос касающийся проверки у тестируемых знания формулы площади круга. Возможно, Вы не согласны с таким выбором вопроса на эти варианты ответов. Вам может показаться, что это какой-то искусственный выбор вопроса среди многих других вопросов, который специально сделали для подгонки результата под ответ номер IV.
Если Вы считаете, что предположение о вопросе неоднозначное, то попробуйте придумать какой-нибудь другой свой вопрос, чтобы можно было в качестве вариантов ответов привести все эти пять вариантов ответов. При этом варианты ответов должны отвечать трём требованиям:
- Правильный ответ не должен сразу выделяться на фоне других вариантов.
- Правильный ответ должен вычисляться быстро без лишних вычислений.
- При неправильных рассуждениях невозможно получить правильный вариант ответа.
Мне не удалось придумать какой-то другой вариант вопроса, кроме вопроса: Какова площадь круга с радиусом r=4 см?
Эта статья демонстрирует сам принцип того, как можно найти правильный ответ в задании не зная самого задания, если Вам очень хорошо известны цели того, кто придумал это задание.