Проблема классического Мартингейла
В классической схеме Мартингейла при серии проигрышей ставки растут в геометрической прогрессии, удваиваясь на каждом проигрыше. Поэтому в серии проигрышей игрок рискует быстро разориться, если его текущий капитал недостаточно большой.
Возникает естественное желание как-то улучшить базовую стратегию Мартингейла, чтобы в серии проигрышей убытки не нарастали бы так быстро. При игре в рулетку в казино такие модификации метода Мартингейла действительно существуют. И все Победители Хаоса должны знать эти модификации и понимать их суть, чтобы эффективно обыгрывать казино.
Здесь рассматривается модифицированный метод Мартингейла при ставках в рулетку на дюжину.
Идея метода Мартингейла при ставках на дюжину
В основной стратегии Мартингейла при каждом проигрыше приходится удваивать ставку из-за того, что иначе будет невозможно при выигрыше компенсировать проигрыш на предыдущей ставке. Ведь если ставить на половину всех номеров, то выигрыш идет в отношении 1:1.
Однако, если в рулетке ставить только на дюжину всех номеров, то выигрыш идет в отношении 2:1. То есть, если Вы ставите $1 на дюжину номеров и выигрываете, то получаете не $1, а уже $2. А это значит, что у Вас появляется лишние деньги, которые могут компенсировать не только предыдущий проигрыш, но и пред-предыдущий проигрыш.
Значит, после первого проигрыша уже нет необходимости удваивать ставку.
Например, Вы поставили на дюжину один доллар и проиграли. Теперь снова ставим на дюжину всё тот же один доллар. Если выигрываем $2, то один доллар идет на компенсацию предыдущего проигрыша в один доллар. И еще один доллар остается в качестве прибыли на выигравшую ставку.
А если вторая ставка в $1 тоже проигрывает?
Вот тогда уже ставим на дюжину $2. Если эта третья ставка выиграет, то выигрыш будет $4. Из этих четырех долларов два доллара пойдут на компенсацию двух первых проигрышей по $1 каждый. И еще останется $2 в качестве приза на третью выигрышную ставку.
А если и третья ставка в $2 тоже проигрывает?
В этом случае в четвертой ставке на дюжину ставим уже $3. Если эта четвертая ставка выигрывает, то мы получаем $6. Один доллар компенсирует первый проигрыш, второй доллар компенсирует второй проигрыш, еще два доллара компенсируют третий проигрыш. И снова у нас остается еще два доллара на выигрышную ставку.
В рулетке на дюжину можно ставить двумя способами, как Dozen Bet и как Column Bet. При ставках Dozen Bet Вы можете поставить или на все числа от 1 до 12, или от 13 до 24 или от 25 до 36. При ставках Column Bet Вы можете поставить или на все числа, которые делятся без остатка на три. Или поставить на все числа, которые при делении на 3 дают остаток 1. Или на числа, которые при делении на 3 дают остаток 2.
С точки зрения теории вероятности нет никакой разницы между ставками Dozen Bet и ставками Column Bet. Поэтому мы дальше различать их не будем и дадим общее описание системы игры на примере европейской рулетки.
Описание стратегии Мартингейла при ставках на дюжину
Теперь осталось только посчитать, какая должна быть последовательность ставок в серии проигрышей, чтобы, при выпадении выигрыша, этот выигрыш компенсировал бы все предыдущие проигрыши и оставил бы нам что-то еще в плюсе.
Эту последовательность ставок Вы можете посмотреть в этой таблице.
| Номер проигрыша | Ставки базового Мартингейла | Ставки Мартингейла на дюжину |
Проигрыши базового Мартингейла | Проигрыши при ставках на дюжину |
Остаток выигрыша, если ставка выиграет |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
| 3 | 4 | 2 | 7 | 4 | 2 |
| 4 | 8 | 3 | 15 | 7 | 2 |
| 5 | 16 | 4 | 33 | 11 | 1 |
| 6 | 32 | 6 | 63 | 17 | 1 |
| 7 | 64 | 9 | 127 | 26 | 1 |
| 8 | 128 | 14 | 255 | 40 | 2 |
| 9 | 256 | 21 | 511 | 61 | 2 |
| 10 | 512 | 31 | 1023 | 92 | 1 |
| 11 | 1024 | 47 | 2047 | 139 | 2 |
| 12 | 2048 | 70 | 4095 | 209 | 1 |
| 13 | 4096 | 105 | 8191 | 314 | 1 |
В первой колонке таблицы показана длина серии проигрышей.
Во второй колонке таблицы показано, как будет расти величина ставки, если Вам встретилась непрерывная серия проигрышей при применении классической стратегии Мартингейла, когда Вы в рулетке ставите на четное или на нечетное, на красное или на черное, на большое или маленькое. Ставки при этом каждый раз удваиваются.
А вот в третьей колонке как раз и показано (жирным красным), как нужно увеличивать размер ставки в серии непрерывных проигрышей, если Победитель Хаоса использует модифицированный метод Мартингейла для ставок на дюжину в рулетке. Обратите внимание, как медленно растет размер ставки при ставках на дюжину.
Например, если Вам выпала серия из 10 идущих подряд проигрышей, то в классической стратегии Мартингейла Вам на одиннадцатую ставку надо поставить уже 1024 базовых ставок (см. строку 11 в таблице). Если базовая ставка равна $1, то придется поставить $1024. А при использовании модифицированной стратегии Мартингейла на дюжину номеров, Вам на одиннадцатый раз нужно будет поставить всего лишь $47.
Теперь посмотрим, какой запас денег необходим игроку для игры по классическому Мартингейлу и при игре по стратегии Мартингейла на дюжину.
Для этого смотрим на четвертую и пятую колонки таблицы. Эти колонки показывают сумму проигранных денег игроком на очередном проигрыше в серии непрерывных ставок. Другими словами, это сумма всех чисел, соответственно, во второй и третьей колонках от самого верха таблицы и и до номера проигрыша.
Например, если у нас выпала серия из 10 непрерывных проигрышей, то в десятой строке таблицы мы видим, что после десятого проигрыша по основному методу Мартингейла мы уже проиграли $1023, а по Мартингейлу на дюжину мы проиграем всего только $92.
Сравнение базового Мартингейла и Мартингейла на дюжину
Запас капитала
В нашем примере с серией из десяти непрерывных проигрышей и выигрышем на одиннадцатой ставке мы имеем для классической стратегии Мартингейла:
- После 10 ставок проиграли $1023
- На одиннадцатую ставку нужно еще $1024
А для игры по модифицированной стратегии Мартингейла в рулетку со ставками на дюжину номеров:
- После 10 ставок проиграли $92
- На одиннадцатую ставку нужно еще $47
Первый вывод. Для выигрывания в казино по модифицированной стратегии Мартингейла со ставками на дюжину игроку требуется меньший запас денег, чем для игры по классической стратегии Мартингейла.
Размер ставок в таком модифицированном методе Мартингейла нарастает значительно медленнее и поэтому Победитель Хаоса может позволить себе зайти в казино с меньшими деньгами на счете.
Нарастание ставок в серии непрерывных проигрышей
Если Вы хорошо подкованы в математике, то можете увидеть, что на самом деле в стратегии ставок на дюжину размер ставок в серии проигрышей тоже растет экспоненциально, но показатель экспоненты примерно в 1.71 раза меньше, чем в базовой стратегии Мартингейла.
Ставки в базовой стратегии Мартингейла вырастают как
где m - длина серии непрерывных проигрышей.
Рост ставок в модифицированной стратегии Мартингейла при ставках на дюжину для m много больше единицы стремится в пределе к закону
Общий размер выигрыша
Что кажется на первый взгляд
А теперь обратим внимание на самую последнюю колонку нашей таблицы.
На каждой выигрышной ставке мы должны иметь хоть какую-то прибыль. В классическом методе Мартингейла мы всегда при выигрыше имеем прибыль в размере базовой ставки. Если базовая ставка $1, то и на каждом выигрыше зарабатываем прибыль тоже в размере $1 независимо от того, сколько долларов мы поставили.
Например, если после серии проигрышей мы поставили $16, и эта ставка выиграла, то $15 идет на компенсацию предыдущих четырех проигрышей. И остается в прибыль только $1.
А в модифицированном Мартингейле это уже не так. После компенсации непосредственных предыдущих проигрышей, у игрока может остаться в прибыли или одна базовая ставка или две. Последняя колонка таблицы как раз и показывает, сколько базовых ставок останется у игрока в прибыли, если на данном номере ставки будет не проигрыш, а выигрыш.
Например, в первой строке в последней колонке стоит двойка. Это значит, что если Вы ставите $1 и при этом выигрываете, то получаете прибыль $2.
Во второй строке последнего столбца стоит число 1. Это значит, что если игрок проигрывает первую ставку, но выигрывает вторую ставку, то он получит прибыль в размере только одной базовой ставки. Хотя выигрыш будет в количестве двух ставок, но одна и этих ставок пойдет на компенсацию предыдущего проигрыша.
Еще пример. В 8-й строке в последней колонке стоит число 2. Откуда оно взялось?
Допустим, базовая ставка равна $1. Пусть игрок проиграл 7 ставок подряд по модифицированному Мартингейлу со ставками на дюжину. Его суммарный проигрыш составил $26 (см. предпоследнюю колонку в 7-й строке). Игрок на восьмую ставку ставит $14 и выигрывает 2x14=28 долларов. Но $26 идет на компенсацию семи предыдущих проигрышей. Значит, в прибыли у игрока останется только 2 доллара.
Из описания базового варианта Мартингейла для европейской рулетки в казино вероятность выиграть каждую ставку будет примерно 0.486. Поэтому в среднем, сделав 1000 ставок, игрок заработает $486, если базовая ставка равна $1.
А для ставок на дюжину вероятность выиграть ставку в европейскую рулетку будет только 12/37. Это всего лишь примерно 0.324.
Если бы в Мартингейле на дюжину у нас прибыль на каждый выигрыш был бы в размере $1, то получилось бы, что на тысяче ставок игрок, в среднем, зарабатывал бы только $324. Получалось бы, что Мартингейл со ставками на дюжину был бы не выгоден и проигрывал бы классическому Мартингейлу в размере 486-324=162 базовых ставки.
А о чем говорит точный математический расчет
Но из таблицы видно, что примерно каждая вторая выигрышная ставка дает прибыль в размере двух базовых ставок, а не одной. Это компенсирует более редкие выигрыши при применении модифицированного Мартингейла на дюжину.
Можно приближенно оценить, сколько прибыли выиграет игрок, если считать, что в среднем он на каждом выигрыше выигрывает (1+2)/2=1.5 базовой ставки. Значит, если для европейской рулетки вероятность выигрыша примерно 0.324, то получаем 0.324*1.5=0.486. Таким образом, мы получаем, что на 1000 ставок игрок всё равно выиграет в среднем те же самые 486 базовые ставки.
Но на самом деле, это очень приближенный грубый расчет. Для более точного расчета надо посчитать бесконечную сумму слагаемых. Каждое слагаемое этой суммы представляет собой произведение двух величин. Первая величина, это размер оставшейся прибыли (1 или 2) после выигрыша. Вторая величина, это вероятность выпадения такого выигрыша, то есть вероятность встретить серию непрерывных m проигрышей. Бесконечная сумма берется по всем m от нуля до бесконечности.
Проще говоря, мы каждую величину прибыли из последней колонки таблицы учитываем с её вероятностным весом, чтобы корректно вычислить средневзвешенную величину прибыли на каждый выигрыш. Мы не будем приводить тут все эти математические формулы из-за их громоздкости.
Если вот так честно всё посчитать, то мы тоже получим, что, в среднем, на 1000 ставок игрок заработает те же самые 486 базовых ставок, играя по модифицированной стратегии Мартингейла со ставками на дюжину номеров.
Второй вывод. Хотя при игре в рулетку по модифицированной системе Мартингейла вероятность выпадения дюжины номеров меньше, чем вероятность выпадения половины всех номеров, но это нисколько не уменьшает средний размер общей прибыли игрока, так как, в среднем, на каждой выигравшей ставке игрок получает больше прибыли, чем в классическом Мартингейле. Другими словами, прибыли выпадают, в среднем, реже, но зато, в среднем, они больше.
Таким образом, уменьшение числа выигрышей точно компенсируется увеличением размера прибыли на каждый выигрыш. И это просто замечательно!
Заключение
Получается, что в финансовом отношении модифицированный метод Мартингейла для ставок на 12 номеров ничем не хуже классической стратегии Мартингейла со ставками на половину всех номеров. Мы, в среднем, на 1000 ставок выигрываем те же самые деньги.
А вот в отношении уменьшения риска и в отношении уменьшения стартового капитала модифицированный метод Мартингейла для ставок на 12 номеров имеет существенные преимущества по сравнению с базовым вариантом системы Мартингейла со ставками на половину всех номеров в рулетке.
С помощью этой модифицированной стратегии Мартингейла можно сделать одно из двух: или снизить риск проигрыша при одном и том же стартовом капитале, или снизить размер стартового капитала при сохранении уровня риска.
Поэтому Победители Хаоса больше предпочитают играть в казино в рулетку по модифицированной стратегии Мартингейла со ставками на дюжину, а не по основной стратегии Мартингейла со ставками на половину номеров.
Но есть ещё более крутая модифицированная стратегия Мартингейла, которую Победители Хаоса предпочитают еще больше, чем стратегию ставок на дюжину.
